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共形几何第三节-同调群和上同调群Homology and Cohomology

发表于 更新于 分类于

闭合曲面的拓扑

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带有边界的曲面的拓扑

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g为洞的数目，b为边界的数目

连通和

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射影平面

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闭合曲面的连通和是可定向的曲面，而具有交叉的曲面的连通和是不可定向的

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一些基本连接面

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D Disk圆盘 S Sphere球体 T

可定向曲面和不可定向曲面连接和的代数表述

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具有三个不同基本结构曲面的连接

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球体+环面 S#L

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其结果和环面同胚

实际上球体和任何曲面相连都是一样的

一个假设:球体以外的任何曲面都可以由T,D，IRP三种曲面组合而成

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圆环与莫比斯环 T\D # M\D

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圆环的变形

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圆环+莫比乌斯带 T # M

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圆环+圆盘 L#D = L\D

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结果相当于圆环减去一个圆盘 L+D=L-D

Youtube一个讲解射影平面的视频

![image-20200726155442814](/images/image-20200726155442814.png)

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投影平面=莫比乌斯环U圆盘Disk

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单形与复形

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单纯同调群

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左侧是复形，右侧并非复形，

链空间

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边界算子

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边界算子就像是分解 降维

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一个边界算子计算的例子

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Z 表示圈，B表示边界

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B为实心图形的边界

C为链

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闭链

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恰当链，边缘链

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右侧为闭链，但不是恰当链

边的边为空

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同调群

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其拓扑空间的三角剖分可以有多个

定向的单形

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p链等于定向单形的和

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C1(K)代表单纯复形的一链

K代表单纯复形

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一阶同调群为 一阶圈群/一阶边界群

H(K) = Z/B

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环面同调群的计算过程

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结论:对于一般的拓扑空间，一阶同调群同构与其基本群的abel化

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单纯同调群

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上同调群与上链空间

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单纯映射

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映射度

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高斯映射

参考

同调维基百科

Simplicial homology Wiki

单纯同调群 zhihu

单纯同调群 baike

计算共形几何讲义 （4）单纯同调

[轻松愉快] 拓扑学 Topology & Geometry by Dr Tadashi Tokieda

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映射的度

Orientable and Nonorientable Surfaces

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