如何定义一个曲面
Handle loops 在外部缩成一个点，t unnel在内部缩成一个点。
环柄在医学上的应用
拓扑去噪，用环柄找出大肠微小的环柄，一些医疗设备，西门子会使用这些技术。
代数拓扑与群
1.基本群的定义
所有过基点的环路集合
这样？环路的同伦类好像还是在这个集合里？
2.何为同伦
同伦是一种等价关系
3.乘积和逆
环路的乘积
环路的逆
基本群的表示
使用字母来表示环路
词群的插入和删除操作
曲面交叉索引的值，交点曲线切向量叉积和法线同个方向值为1，垂直值为0，相反为-1，这样为每个焦点定义了一个指标。
代数相交数
代数相交数在同伦变换下不变
基本群的典范表示
a1,b2,a2,b2 叫做曲面基本群的典范基底。
拓扑同胚和基本群(Homeomorphism)
两个曲面的基本群同构，则其拓扑等价，即拓扑同胚。
莫比乌斯环是不可定向的曲面
球和圆环是可定向的曲面
曲面不可定向则包含莫比乌斯环，包含莫比乌斯环的曲面必然不可定向
没有边界并且不可定向的曲面
基本群的概念和正交基之类的相同(应该)，即使用最少的元素表示一个空间或者曲面。
拓扑空间分解
曲面的连通和
表面拓扑分类
环面的基本群
刺破环面基本群的表示(亏格为2的曲面的基本群表示)
其证明
切图(Cut Graph)
计算切图的算法
亏格为3的切图
基本群的关系算法
万有覆盖空间(?)
覆盖群的结构
亏格为2的曲面的万有覆盖空间
万有覆盖空间的算法表示
基本拓扑学笔记
第一节:欧拉定理
1.欧拉定理
凸多面体的任何截面都是凸多边形，与凹多面体相反。
把凸多面体的任何一个面伸展成平面，它的所有其他各面都在这个平面的同侧。
最后一个计算没有意义因为顶面的形状不算是多边形。
v-e+f=0的例子
几个多面体其本质的不同
具体的几何形状无关，而更深层的几何结构有关
第二节:拓扑引论
同胚
双射
不同胚的例子
拓扑不变量
什么是连续
微积分中的连续定义
开集与逆
第三节:拓扑空间
有限个开集的交为开集
这样？
平凡拓扑 只有空集和全集
离散拓扑
度量空间
度量空间（metric space）是一种具有度量函数（metric function）或者叫做距离函数（distance function）的集合，此函数定义集合内所有元素间的距离，被称为集合上的metric。
度量空间中最符合直观理解的是三维欧氏空间，事实上，metric的概念是欧氏距离性质的推广。
度量空间是1906年Maurice Fréchet在其著作中引入的，但是名字来自于Felix Hausdorff。
度量空间在分析学中有重要应用。
实数序列的极限与metric function
除了极限的概念，通过度量空间还可以定义连续、一致连续、Lipschitz连续、一致收敛等性质，度量空间本身还可以具有很多性质，如完备性、紧致性、连通性、分离性等。此外度量空间还能导出开集与闭集等拓扑性质，这导致了对再度抽象的拓扑空间的研究。
数学是一个不断抽象的过程，度量空间以及更加抽象的拓扑空间的引入，并不是为了抽象而抽象，而是为了研究的方便，使概念准确和简洁。
度量空间诱导的拓扑
子空间拓扑
